광대 기묘한 수, 무한대의 본질 > 시사칼럼

본문 바로가기
사이트 내 전체검색

시사칼럼

광대 기묘한 수, 무한대의 본질

페이지 정보

작성자 no_profile 운영자 쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 댓글 0건 조회 1,244회 작성일 08-09-05 03:31

본문

조민아

* *** 이 게시판에 특수문자가 깨져서 첨부파일을 올립니다. 관심 있으신 분은 위의 첨부파일을 받아 보시기바랍니다.


우주에는 많은 종류의 큰 수가 있다. 우리가 과학 수업시간에 접하는 아보가드로의 수(Avogadro's number; 6.022 x 1023)도 있고 지구상의 모래알처럼 수 없이 큰 수도 있다. 하지만 이들은 결국에 시간이 충분하다면 셀 수 있는 수치이다. 아보가드로의 수도 소수점 이하의 자리를 정확하게 적어 낼 수는 있다.

반면에 우리가 셀 수 없는 수도 있는데 예를 들어 ‘모든 자연수’와 ‘두 지점을 연결하는 선을 구성하는 점들의 수’가 셀 수 없는 무한대에 속한다. 두 가지 다 무한히 큰 수라는 점 외에 다른 할 말은 없을까? 만약 위의 무한대 중 어느 것이 더 큰가 하는 생각을 해 보자. 센스가 있다면 두 수 중에 어느 것이 더 큰가 하고 의문을 품어볼 수 있을 것이다.

무한대의 셈법으로 유명한 게오르그 칸토어(Georg Cantor)는 우리가 이름도 모르고 적을 수도 없는 수를 비교하려는 데에 문제가 있다는 것을 알았다. 우리의 말과 글에는 수에 대한 재미있는 측면이 있다. 아프리카의 부시맨 종족은 3보다 큰 수로 ‘많다’는 표현 외에는 4나 5도 표현하는 말이 없다고 한다. 그러면 이들은 바나나 5개와 귤 6개중 어느 것이 더 많다고 할까? 만약 이들이 영리하다면 하나씩 짝을 맞추고는 남는 것이 더 크다고 하면 될 것이다. 이런 방법이 바로 천재이자 무한대의 아버지라고 하는 칸토어가 다른 두 무한대의 크기를 비교하는데 적용한 방법이다.

만약 우리가 다른 두 무한대에 있는 요소들을 짝지어 남는 것이 없다면 두 무한대는 같은 것이고 남는 것이 있다면 그것이 큰 무한대인 것이다. 예를 들어 짝수의 집합은 무한대이고 홀수의 집합도 무한대이다. 이들을 짝지어 본다면 아마 같지 않을까?

짝수와 홀수는 일대일 대응이 가능하기에 크기가 같다. 그런데 이제 다른 것을 생각해 보자. 짝수와 홀수를 합한 무한대와 짝수만으로 된 무한대를 비교하면 어느 것이 클까? 당연히 짝수와 홀수를 합한 무한대가 크지 않을까? 그렇지만 증명을 하기 위하여 일대일 대응을 시켜 남는 쪽이 있는지 비교해 보아야 한다.

두 무한대의 수를 대응시켜보면 말 그대로 해도 해도 끝이 없다. 짝수의 집합과 짝수에 홀수까지 더한 정수의 집합 중 어느 것이 더 큰지를 알 수 없는 것이다. 분명히 이것은 역설임에 틀림이 없다. 그러나 무한대의 세계는 다르다. 사실, 무한대의 세계에는 부분이 전체와 같다. 여러분은 힐버트의 호텔(Hilbert's Hotel) 이야기를 들어보았는가?

힐버트의 호텔에는 방이 유한하다. 당연할 수밖에. 그리고 모든 방에 손님이 다 들었다. 빈방이 없다는 것. 손님이 오면 돌려보내야 한다. 그러나 힐버트의 호텔에 손님이 오면 빈 방이 없는 데에도 방이 있다고 한다. 새 손님을 첫 방에 들이고, 그 방에 있던 손님을 옆방으로, 옆방에 있던 손님을 그 옆방으로 이렇게 자꾸 옮긴다고 치자. 이번에 또 새 손님이 오면 1번 방의 손님을 2번 방으로, 2번 방의 손님을 4번, 3번방의 손님을 6번 이렇게 돌려 모든 홀수 방을 비우게 하면 되는 것이다.

힐버트 호텔의 이야기는 무한대라는 수가 본질적으로 얼마나 이상한 가를 설명하는 것이다. 일상의 계산에서는 있을 수가 없는 일이다. 두 무한대의 크기를 알기위해 칸토어가 사용한 비교의 방법을 적용해 보자. 모든 자연수와 유리수라는 두 무한대를 비교하면 크기가 같다는 것을 알 수 있다. 어떻게 해서 그렀느냐고?

유리수를 다음과 같이 배열해 보자. 분모 분자의 합이 2가되는 분수를 적어보자. 이것은 1/1 뿐이다. 다음에 합이 3이 되는 분수 2/1, 1/2 이어 합이 4가 되는 분수 3/1, 2/2, 1/3 이 있고 그 다음에 합이 5가 되는 분수 4/1, 3/2, 2/3, 1/4 가 있다. 이렇게 배열해보면 결국에 무한대가 되고 모든 유리수를 다 적을 수 있다. 다음에 이 유리수와 자연수가 일대일 대응이 된다. 그래서 같다고 하지 않았는가?

그러면 모든 무한대가 같다는 생각이 들지 않는가? 그러나 모든 자연수의 집합으로 된 무한대보다 더 큰 무한대는 많다. 앞에서 가졌던 의문: 모든 자연수의 집합으로 된 무한대와 두 지점을 연결하는 선을 구성하는 점들로 이루어진 무한대 중 어느 것이 더 큰가?

이 두 가지 무한대는 서로 성질이 다르고 한편, 선을 이루는 점들이 보다 많을 것 같다는 생각이 들 것이다. 이를 증명하기 위하여 1cm 길이에 있는 점들과 자연수를 일대일 대응해 보자. 점들은 무한소수로 적을 수 있다. 0.298346103 이나 0.752384168 등은 1과 2 사이에 존재하는 점들이다. 그런데 무한소수와 2/3, 4/7 등과 같은 유리수의 차이를 알아야 한다.

유리수 2/3는 무한 반복하는 소수이다. 4/7은 0.57142857로 0.(571428)이라고 적는다. 그러나 점을 표시하는 무한소수는 모두가 무한 반복한다. 따라서 자연수 보다 점들의 수가 많은 것이다. 물론 모든 무한소수를 실제로 다 적을 수는 없지만 무한소수를 적는 손쉬운 규칙이 있다. 이 규칙은 설명하고 이해하기에 복잡하니 생략한다.

칸토어는 히브리어 글자 (aleph)로 무한대 수를 적고 있다. 은 자연수라는 무한대, 은 선 위에 있는 점들로 된 무한대라고 할 수 있다. 마치 주사위에 6면이 있고 카드는 52장으로 되어 있다는 것처럼 표현하는 것이다. 무한대라는 기묘한 수의 정체에 대한 결론을 내리자면 무한대는 우리가 응용할 수 있는 어떤 상상의 집합보다 월등하다는 것이다. 는 모든 정수의 집합, 은 선 위에 있는 점들의 집합 등으로 표현이 가능하다는 것이다.

이제와서 보면 아무도 로 묘사할 수 있는 무한한 개체의 집합을 정의하려고 착안한 사람이 없다는 것이다. 이것은 부시맨 종족이 3보다 더 큰 수를 표시하려고 노력하지 않은 것이나 무엇이 다른가? 우리는 보다 큰 무한대를 묘사하지도 못한다. 우리는 많은 수를 자유자재로 다룬다고 생각하지만 실은 부시맨 종족이나 별로 다르지 않을 것이다. 무한대라니 헷갈리지 않는가?

 * 조민아는 유타대학교에서 수학과 물리학을 공부하고 있는데 한글학교의 수학 교사로도 봉사하고 있다. 고교때 ‘전미수학경시대회’에 팀 리더로 참여하여 좋은 성적을 거둔바 있다.

추천0 비추천0

첨부파일

댓글목록

등록된 댓글이 없습니다.

Total 24건 1 페이지
게시물 검색


Copyright © utahkorean.com. All rights reserved.